Cálculo Poliádico

História curta do Cálculo Poliádico (CP) 

O sistema vetorial

            Qualquer aluno de colégio conhece um pouco dos vetores; e o conhece bem na forma com que J. W. GIBBS (1839-1903) estabeleceu sua Vector Analysis  entre os anos 1880 e 1900 quando lecionava Física Matemática na Universidade de Yale. Suas aulas foram publicadas por Wilson pelo livro clássico:

WILSON, E. B. VECTOR ANALYSIS, A Text-Book for the Use of Students of Mathematics and Physics, New Haven, Yale University Press, 1901. (link)

Teve participação pesada no feito O. HEAVISIDE (1850-1925) cujo trabalho, na Inglaterra, era mais voltado para Eletricidade e Magnetismo.

Uma boa fonte de referência relativa à história do sistema vetorial é a obra de Crowe:

CROWE, M. J., A history of VECTOR ANALYSIS (The Evolution of the Idea of a Vectorial System), University of Notre Dame Press, 1967, também publicada por Dover Publications Inc., New York, 1985, ISBN 0-486-64955-5.

O mesmo autor Crowe publicou um compacto sobre essa história e o apresento em anexo.

Seria injusto não mencionar, paralelamente, os nomes dos precursores imediatos do CV – William Rowan HAMILTON (1805-1865) e Hermann Günther GRASSMANN (1809-1877) – e seus trabalhos pioneiros. Hamilton descobriu os quatérnios em 1843 e publicou suas “Lectures on Quaternions” em 1853. Grassmann teve suas primeiras idéias em 1832 e publicou seu “Cálculo das Extensões” na sua “Ausdehnungslehre” em 1844. Apesar dos nomes estranhos essas duas obras tiveram grande influência no “arranjo estrutural” do atual Cálculo Vetorial (CV).

Antes, durante e depois de Hamilton e Grassmann, até 1901, existem trabalhos, relacionados com o tema, produzidos por: Wallis (1673), Descartes (1640), Leinniz (1679), Wessel (1799), Gauss (1799), Argand (1806), Buée (1806), Möbius (1823), Warren (1828), Mourey (1828), Gauss (1831), Bellavitis (1835), Saint-Venant (1845), O’Brien (1852), Cauchy (1853), Peirce (1855), Tait (1867), Hankel (1867), Maxwell (a871), Kelland e Tait (1873), Clifford (1879), Peirce (1881), Heaviside (1883), Gibbs (1886), Maxwell (1891), Mcfarlane (1891), Heaviside (1892), Föppl (1894, 1ª edição), Ferrari (1899), Wilson (1901).

Por volta de 1900 haviam acontecido mais 1.000 publicações no mundo de natureza vetorial, 594 quaterniônicas e 217 grassmaninas. Entre 1901 e 1909 o moderno sistema vetorial foi usado em importantes artigos na Encyklopädie der Matematischen Wissenshaften. Em 1903 Bucherer publicou o primeiro livro alemão sobre o sistema vetorial. Outras publicações alemãs: Föppl (1904, 2ª edição), Gans (1905), Jahnke (1905), Bucherer (1905, 2ª edição), Valentiner (1907), Föppl (1907, 3ª edição), Gans (1909, 2ª edição), Ignatowsky (1909). Edição russa: Somoff (1907). Edições americanas: Coffin (1909), Wilson (1909, 2ª edição). Edição italiana: Burali-Forti e Marcolongo (1909). Edição francesa: Burali-Forti e Marcolongo (1910, tradução).

De 1910 em diante o interesse pelos quatérnios declinou e pelo sistema vetorial cresceu rapidamente. Gibbs, o protagonista principal dessa peça, morreu em 1903 nos USA; e Heaviside morreu em 1925, na Inglaterra.

A insistência no uso da nomenclatura “Cálculo Poliádico” (CP) é minha, não sendo ela utilizada ordinariamente. O próprio Gibbs – o criador dos poliádicos – adotou a nomenclatura genérica “Vector Analysis” já utilizada pelo precursor dos vetores, W. R. Hamilton, 40 anos antes (por volta de 1850), via os aparentemente desajeitados quatérnios.

Considerando que o vetor poderia ser denominado de monádico, o leitor poderia também imaginar facilmente que a história do CP deveria iniciar-se logo em seguida à do sistema vetorial. Considerando ainda que a teoria dos diádicos foi desenvolvida por Gibbs na mesma época histórica e apresentada na mesma obra de Wilson (de 1901), todos os demais desenvolvimentos, sejam ainda com os diádicos ou com os demais poliádicos, teria cerca de outros 100 anos de história.

Fato incontroverso é que o CV veio para atender a física clássica e parece que jamais será substituído porque ele a atende na medida certa. Mas o que se passou com o Cálculo Diádico (CD), isto é, o cálculo análogo ao dos vetores desenvolvido com os diádicos?

Aparentemente, em vista da quantidade de publicações sobre o assunto no século XX, ocorreu algum desconhecimento. São do meu conhecimento:

LAGALLY, M., Vorlesungen Über Vektor-Rechnung,Akademische Verlagsgesellshaft M. B. H., Leipzig, 1928,

que menciona o nome de Gibbs uma única vez em todo o texto;

WEATHERBURN, M. A., Differential Geometry of Three Dimensions, Cambridge University Press, London, 1930,

excelente obra em que o autor utiliza exaustivamente e com muita didática os vetores e diádicos.

BRAND, L., Vector and Tensor Analysis, John Wiley & Sons, London, 1947,

excelente obra em que o autor aplica exaustivamente e com sapiência a Vector Analysis ao modo de Gibbs (inclusive teoria dos diádicos);

DREW, T. B., Handbook of Vector and Polyadic Analysis, Reinhold Publishing Corporation, New York, 1961,

obra difícil de ler por ser muito compacta, mas que acrescenta resultados na teoria dos poliádicos em geral.

A meu ver, o Cálculo Tensorial (CT) – que ganhou fama depois do espetáculo apresentado pela relatividade geral de 1915 em diante – passou a ser a matemática da física. Cientista com status na física do século XX tinha que utilizar o CT; e estudos e publicações aumentavam com o passar dos anos. Pelas mãos perfeitas dos matemáticos o CT, que encampava o CV, tornou-se matéria quase esotérica.

Entre nós brasileiros tenho informação de que o primeiro livro sobre CV publicado no Brasil foi o de Santos:

Santos, C. C., Curso de Cálculo Vetorial, Lições professadas na Escola de Minas de Ouro Preto, Livraria Mineira, Ouro Preto, 1927.

Parece que o pioneirismo do autor no ensino e divulgação do CT foi mantido. O primeiro ensaio de publicação de curso em CT por C. C. Santos se fez em 1951 na Escola de Engenharia da Universidade de Minas Gerais. A segunda publicação foi feita no Departamento de Matemática da USP em 1953 onde o autor lecionou um curso em vinte lições. Tenho em mãos:

Santos, C. C., Curso de Análise Tensorial, Oficinas Gráficas da Escola Nacional de Minas e Metalurgia, Universidade do Brasil, Ouro Preto, 1956

A insistência no uso da nomenclatura “Cálculo Poliádico” é minha, não sendo ela utilizada ordinariamente. O próprio Gibbs – o criador dos poliádicos – adotou a nomenclatura genérica “Vector Analysis” já utilizada pelo precursor dos vetores, W. R. Hamilton, 40 anos antes (por volta de 1850).

O visitante poderá observar, porém, ao estudar o vol. II do Tomo I das minhas “Lições”, que mantendo a mesma linha de conduta já adotada para vetores (poliádicos de valência um) e diádicos (poliádicos de valência dois), e com as devidas adaptações, concebem-se os poliádicos (de qualquer valência), operações entre eles adequadas à física, descobrem-se propriedades muito parecidas etc. Os poliádicos de mesma valência H constituem um espaço de dimensão 3H e podem interagir com poliádicos de outras valências (logo de espaços de outras dimensões) efetuando transformações de um espaço em outro (como operadores). É possível, inclusive, utilizar-se a mesma geometria euclidiana 3H dimensional apenas com a adaptação das dimensões dos espaços que vão crescendo em potências de três, desde 3 (caso H=1) para os vetores, 9 para os diádicos (H=2) etc.

Nessa ordem de idéias o CP passa a ser tão útil e simples quanto o CV o é para a física e a geometria. Se fosse proibido falar de tensor em Mecânica do Corpo Rígido, mas não na simples álgebra dos diádicos, o conceito de tensor de inércia poderia ser facilmente substituído pelo de diádico de inércia sem maiores complicações. As Mecânicas dos Sólidos e dos Fluidos viscosos poderiam ser facilmente expostas sem o aparato pesado da teoria dos tensores e de uma forma até intuitiva, mas bem estruturada.

Que mas se poderia esperar de simples e bom?

Mas o fato é que o CP não vingou como poderia vingar. Aparentemente o CT, de 1920 para cá, que suporta adequadamente a geometria euclidiana e as não euclidianas (como a de Riemann) virou moda e dava estatus.

De 40 anos para cá (talvez um pouco menos) pôde ser observada alguma mudança entre os cientistas militantes nas áreas de sólidos, fluidos, materiais de comportamento misto, velhos materiais como: os concretos, os solos, os maciços rochosos, os ossos, o sangue, os tecidos do corpo animal, os músculos, polímeros; e materiais mais novos, como: o cristal líquido, os materiais para pernas mecânicas, válvulas, compósitos e outros. Não curiosamente, o que devíamos ter chamado desde 1901 de poliádicos são denominados, já há algum tempo, de tensores cartesianos. Além disso, nos textos modernos, não se reconhece a necessidade da decomposição de vetores nas bases (não ortonormadas) denominadas por Hamilton de recíprocas (que, depois, alguns autores chamam de duais).

Curiosamente, agora sim, todas as operações envolvendo esses tensores cartesianos (contração, por exemplo, que “cai do céu”, como o maná!) ou já eram conhecidas, ou poderiam ser desenvolvidas sem muito esforço adicional (por simples ampliação). As multiplicações múltiplas (ponteadas e cruzadas) são um exemplo.

Algumas fórmulas – a de Nanson, por exemplo – insinuando que foram descobertas, já eram todas conhecidas de Gibbs (quem sabe até de Hamilton). Seria, por isso, interessante informar que se trata de homenagem para que todos possam aplaudir pelo merecimento.

A idéia de representar o produto indeterminado de dois vetores a e b, que hoje chamam de produto diádico, pelo desnecessário símbolo ab, não foi muito feliz. É provável que o proponente não tenha conhecido a Vector Analysis de Gibbs onde esse produto era representado simples e naturalmente por ab. Em multiplicação escalar anterior por um vetor c tem-se, por definição: (ab).c=a(b.c) no primeiro caso e (ab).c= a(b.c) no segundo. Notou o visitante que o símbolo  sumiu no primeiro caso? Agora imagine o seguinte produto duplo de uma tríade abc por uma díade vw. O que seria mais simples: abc:vw=a(b.v)(c.w), ou abc:vw = a(b.v)(c.w)? No primeiro caso duas bolinhas estão sumidas!

– As “Lições de Cálculo Poliádico”, deste autor.

Estou a fazer críticas, mas também estou esperando críticas. Mas isto é natural, pois cada um tem um motivo para adoções. Por exemplo: as nomenclaturas: diádico ortoplanar, ortolinear, anti-triangular e outras são minhas. Aliás, Wilson, nem mesmo Gibbs, se referiu a esse tipo de diádico.